2013年山东省济南市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集∪=R，集合A={x|2^x＞1}，B={x|x²-3x-4＞0}，则A∩B（ ）
A．{x|x＞0}
B．{x|x＜-1或x＞0}
C．{x|x＞4}
D．{x|-1≤x≤4

2. 难度：中等

已知复数 （i是虚数单位），它的实部和虚部的和是（ ）
A．4
B．6
C．2
D．3

3. 难度：中等

某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均_甲、_乙和中位数y_甲、y_乙进行比较，下面结论正确的是（ ）

A．_甲＞_乙，y_甲＞y_乙
B．_甲＜_乙，y_甲＜y_乙
C．_甲＜_乙，y_甲＞y_乙
D．_甲＞_乙，y_甲＜y_乙

4. 难度：中等

已知实数x，y满足，则目标函数z=x-y的最小值为（ ）
A．-2
B．5
C．6
D．7

5. 难度：中等

“a=1”是“函数f（x）=|x-a|在区间[2，+∞）上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

函数f（x）=ln（x-）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

二项式（-）⁸的展开式中常数项是（ ）
A．28
B．-7
C．7
D．-28

9. 难度：中等

已知直线ax+by+c=0与圆O：x²+y²=1相交于A，B两点，且，则的值是（ ）
A．
B．
C．
D．0

10. 难度：中等

图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（ ）

A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

11. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）

A．
B．
C．20
D．40

12. 难度：中等

设a=dx，b=dx，c=dx，则下列关系式成立的是（ ）
A．＜＜
B．＜＜
C．＜＜
D．＜＜

二、填空题

13. 难度：中等

若点A（1，1）在直线mx+ny-2=0上，其中，mn＞0，则+的最小值为    ．

14. 难度：中等

已知抛物线y²=4x的焦点F恰好是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右顶点，且渐近线方程为y=x，则双曲线方程为    ．

15. 难度：中等

函数y=sin（x+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB    ．

16. 难度：中等

f（x）=|2x-1|，f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），则函数y=f₄（x）的零点个数为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，-y），且⊥．
（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调增区间；
（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f（）=3，且a=2，b+c=4，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO=2，AB=2CD=2，E、F分别是AB、AP的中点．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）求二面角F-OE-A的余弦值．

19. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），等差数列{b_n}满足b₃=3，b₅=9．
（1）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设C_n=（n∈N^*），求证C_n+1＜C_n．

20. 难度：中等

某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为，
（1）求该生被录取的概率；
（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=xe^x．
（I）求f（x）的单调区间与极值；
（II）是否存在实数a使得对于任意的x₁，x₂∈（a，+∞），且x₁＜x₂，恒有成立？若存在，求a的范围，若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k_AC•k_BD=-，
（ i） 求•的最值．
（ ii） 求证：四边形ABCD的面积为定值．