2009-2010学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设i为虚数单位，则等于（ ）
A．i
B．-i
C．1+i
D．1-i

2. 难度：中等

已知集合{A=x|x²-2x-3＜0}，{B=x|x＞1}，则A∩B=（ ）
A．{x|x＞1}
B．{x|x＜3}
C．{x|1＜x＜3}
D．{x|-1＜x＜1}

3. 难度：中等

二项式（2-）⁶的展开式中，常数项是（ ）
A．20
B．-160
C．160
D．-20

4. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，若公比q＞1，且a₂a₈=6，a₄+a₆=5，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

椭圆E的短半轴长为3，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知函数f（x）满足：，则f（2010）=（ ）
A．2
B．-3
C．
D．

7. 难度：中等

执行如图的程序框图，若p=9，则输出的S=（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在△ABC中，AB=7，BC=5，CA=6，则=（ ）
A．-19
B．19
C．-38
D．38

9. 难度：中等

设m、n是平面α内的两条不同直线，l₁，l₂是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是（ ）
A．l₁⊥m，l₁⊥n
B．m⊥l₁，m⊥l₂
C．m⊥l₁，n⊥l₂
D．m∥n，l₁⊥n

10. 难度：中等

已知函数，则要得到其导函数y=f′（x）的图象，只需将函数y=f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位

二、填空题

11. 难度：中等

某校高三有1000个学生，高二有1200个学生，高一有1500个学生．现按年级分层抽样，调查学生的视力情况，若高一抽取了75人，则全校共抽取了     人．

12. 难度：中等

在△ABC内任取一点P，则△PBC的面积超过△ABC面积的一半的概率是    ．

13. 难度：中等

如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是，则a=    ．

14. 难度：中等

在△ABC中，，点D是BC的中点，且AD=1，∠BAD=30°，则△ABC的面积为     ．

15. 难度：中等

以双曲线C：-=1的右焦点为圆心，且与双曲线C的渐近线相切的圆的方程是    ．

16. 难度：中等

变量x，y满足目标函数z=ax+y的最大值为3a，则实数a的取值范围是    ．

17. 难度：中等

整数数列{a_n}满足，则数列{a_n}的通项a_n=    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数．求
（1）函数f（x）的最小正周期；
（2）函数f（x）的单调递减区间；
（3）函数f（x）在区间上的最值．

19. 难度：中等

袋中装有编号为1的球5个，编号为2的球3个，这些球的大小完全一样．
（1）从中任意取出四个，求剩下的四个球都是1号球的概率；
（2）从中任意取出三个，记ξ为这三个球的编号之和，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．

20. 难度：中等

AB为圆O的直径，点E，F在圆上，AB∥EF，矩形ABCD所
在平面与圆O所在平面互相垂直，
已知AB=2，EF=1．
（1）求证：BF⊥平面DAF；
（2）求BF与平面ABCD所成的角；
（3）若AC与BD相交于点M，
求证：ME∥平面DAF．

21. 难度：中等

点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线C：x²=2y上的不同两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两条切线交于点P（x，y）．
（1）求证：x是x₁与x₂的等差中项；
（2）若直线AB过定点M（0，1），求证：原点O是△PAB的垂心；
（3）在（2）的条件下，求△PAB的重心G的轨迹方程．

22. 难度：中等

设（a∈R）．
（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围；
（2）当时，若在上至少存在一点x，使f（x）＞e-1成立，求a的取值范围．