2003-2004学年江苏省无锡市天一中学高二（下）期末数学试卷（强化班）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合P={x|x=2k-1，k∈Z}，集合Q={y|y=2n，n∈Z}，若x∈P，y∈Q，a=x+y，b=x•y，则（ ）
A．a∈P，b∈Q
B．a∈Q，b∈P
C．a∈P，b∈P
D．a∈Q，b∈Q

2. 难度：中等

已知命题p：|x-1|≥2，命题q：x∈Z；如果“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为（ ）
A．{x|x≥3}或{x|x≤-1，x∉Z}
B．{x|-1≤x≤3，x∈Z}
C．{-1，0，1，2，3}
D．{0，1，2}

3. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和记为S_n，若a₂+a₄+a₁₅的值是一个确定的常数，则数列{S_n}中也为常数的项是（ ）
A．S₇
B．S₈
C．S₁₃
D．S₁₅

4. 难度：中等

在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则=（ ）
A．48
B．-48
C．36
D．-36

5. 难度：中等

如果把圆C：x²+y²=1沿向量=（1，m）平移到C'，且C'与直线3x-4y=0相切，则m的值为（ ）
A．2或
B．2或
C．-2或
D．-2或

6. 难度：中等

函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（ ）
A．φ=2kπ-，k∈Z
B．φ=kπ-，k∈Z
C．φ=2kπ-，k∈Z
D．φ=kπ-，k∈Z

7. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2+3，a₃=4+5+6，a₄=7+8+9+10，…，则a₁₀=（ ）
A．610
B．510
C．505
D．750

8. 难度：中等

平面向量，，，若，则这样的向量的个数有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

不等式x²+2x+a≥-y²-2y对任意实数x、y都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥0
B．a≥1
C．a≥2
D．a≥3

10. 难度：中等

点P在曲线y=x³-x+2上运动，则过P点的曲线的切线倾斜角的范围是（ ）
A．[0，π）
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知F₁，F₂是两个定点，椭圆C₁和等轴双曲线C₂都以F₁，F₂为焦点．点P是C₁和C₂的一个交点，且，那么椭圆C₁的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

函数f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且f（x）=-f（x+2），当0≤x≤2时，，若已知n∈Z，则使成立的x的值为（ ）
A．2n
B．2n-1
C．4n+1
D．4n-1

二、填空题

13. 难度：中等

已知函数y=f（x）的反函数（x≤-1），则=    ．

14. 难度：中等

已知，，与的夹角为45°，要使与垂直，则λ=    ．

15. 难度：中等

已知P（x，y）是椭圆（a＞b＞0）上的动点，F₁，F₂是焦点，则|PF₁|•|PF₂|的取值范围是    ．

16. 难度：中等

设函数f（x）=sin（ϖx+ϕ），其中ϖ＞0，＜ϕ＜，给出四个论段：
①它的周期是π 
②它的图象关于直线对称  
③它的图象关于点（对称
④在区间上是增函数，
以其中两个论段作为条件，另两个论段作为结论，写出一个你认为正确的命题    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知三角形△ABC三内角满足A、B、C成等差数列，tanAtanC=2+，又顶点C对边c上的高等于4，求三角形三边a、b、c的长．

18. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b_n}的第二项，第三项，第四项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对任意自然数n，均有，求c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₀₆值．

19. 难度：中等

某农产品去年各季度的市场价格如下表：

季  度	第一季度	第二季度	第三季度	第四季度
每吨售价（单位：元）	195.5	200.5	204.5	199.5

今年某公司计划按去年各季度市场价格的“平衡价m”（平衡价m是这样的一个量：m与各季度售价差的平方和最小）收购该种农产品，并按每个100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万吨，政府为了鼓励公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点，
（1）根据题中条件填空，m=______（元/吨）；
（2）写出税收y（万元）与x的函数关系式；
（3）若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．

20. 难度：中等

已知二次函数f（x）=x²+bx+c（b、c∈R），不论α、β为何实数，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0．
（1）求证：b+c=-1；
（2）求证：c≥3；
（3）若函数f（sinα）的最大值为8，求b、c的值．

21. 难度：中等

已知直线y=-2上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且⊥，记点P的轨迹为C₁，
（1）求曲线C₁的方程；
（2）设直线l与x轴交于点A，且，试判断直线PB与曲线C₁的位置关系，并证明你的结论；
（3）已知圆C₂：x²+（y-a）²=2，若C₁、C₂在交点处的切线相互垂直，求a的值．

22. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，若存在x∈D，使f（x）=x成立，则称以（x，x）为坐标的点为函数f（x）图象上的不动点．
（1）若函数f（x）=图象上有两个关于原点对称的不动点，求a，b应满足的条件；
（2）在（1）的条件下，若a=8，记函数f（x）图象上的两个不动点分别为A、B，点M为函数图象上的另一点，且其纵坐标y_M＞3，求点M到直线AB距离的最小值及取得最小值时M点的坐标；
（3）下述命题“若定义在R上的奇函数f（x）图象上存在有限个不动点，则不动点的有奇数个”是否正确？若正确，给出证明，并举一例；若不正确，请举一反例说明．