2011-2012学年河北省唐山一中高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=0，则a，b满足（ ）
A．a+b=1
B．a-b=1
C．a+b=0
D．a-b=0

2. 难度：中等

以两点A（-3，-1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（ ）
A．（x-1）²+（y+2）²=100
B．（x-1）²+（y-2）²=100
C．（x-1）²+（y-2）²=25
D．（x+1）²+（y+2）²=25

3. 难度：中等

已知焦点在y轴的椭圆的离心率为，则m=（ ）
A．3或
B．3
C．
D．

4. 难度：中等

过点（0，2）与抛物线y²=8x只有一个公共点的直线有（ ）
A．无数多条
B．3条
C．2条
D．1条

5. 难度：中等

双曲线的渐近线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（ ）
A．cm²
B．cm²
C．96cm²
D．112cm²

7. 难度：中等

抛物线y²=4x的焦点为F，准线l交x轴于R点，过抛物线上一点P（4，4）作PQ⊥l于Q，则梯形PQRF的面积为（ ）
A．12
B．14
C．16
D．18

8. 难度：中等

两圆x²+y²-4x+2y+1=0与x²+y²+4x-4y-1=0的公切线有（ ）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条

9. 难度：中等

水平放置的正三角形ABC中，点A的坐标（-1，0），点B的坐标为（1，0），用斜二测画法得到三角形A′B′C′，则点C′到x′轴的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，若P为其上一点，且|PF₁|=2|PF₂|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．（1，3）
B．（1，3]
C．（3，+∞）
D．[3，+∞]

11. 难度：中等

直线L：x+2y-3=0与圆C：x²+y²+x-6y+m=0有两个交点A、B，O为坐标原点，若，则m的值是（ ）
A．2
B．-1
C．3
D．

12. 难度：中等

设直线l：2x+y+2=0关于原点对称的直线为l'，若l'与椭圆x²+=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为的点P的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

13. 难度：中等

用半径是2的半圆面卷成圆锥的侧面，所得圆锥的体积为    ．

14. 难度：中等

三条直线l₁：x-y=0，l₂：x+y-2=0：，l₃：5x-ky-15=0，不构成一个三角形，则实数k的所有取值之和为    ．

15. 难度：中等

长方体的棱长之和为16cm，表面积是12cm²，则长方体外接球的体积是    ．

16. 难度：中等

过直线y=x上的一点P作圆（x-5）²+（y-1）²=2的两条切线l₁，l₂，A，B为切点，当直线l₁，l₂关于直线y=x对称时，∠APB=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知圆C和y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．

18. 难度：中等

已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（-，0），且过D（2，0），设点A（1，）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程．

19. 难度：中等

已知点A（4，0），B（0，3），O（0，0），点P是△ABO内切圆上一点，
（1）求△ABO内切圆方程．
（2）求|PA|²+|PB|²+|PC|²的最大与最小值．

20. 难度：中等

根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3 m，宽1.6 m．现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4 m的距离行驶．已知拱口AB宽恰好是拱高OC的4倍，若拱宽为a m，求能使卡车安全通过的a的最小整数值．

21. 难度：中等

已知定点A（1，0）和定圆B：x²+y²+2x-15=0，动圆P和定圆B相切并过A点，
（1）求动圆P的圆心P的轨迹C的方程．
（2）设Q是轨迹C上任意一点，求∠AQB的最大值．

22. 难度：中等

已知椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0）双曲线-=1的两条渐近线为l₁和l₂，过椭圆E的右焦点F作直线l，使得l⊥l₂于点C，又l与l₁交于点P，l与椭圆E的两个交点从上到下依次为A，B（如图）．
（1）当直线l₁的倾斜角为30°，双曲线的焦距为8时，求椭圆的方程；
（2）设，证明：λ₁+λ₂为常数．