Question

割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率．请你也用这个方法求出二次函数的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是（ ）
A．5
B．
C．4
D．17-4π

Answer

设该二次函数与坐标轴的交点分别为A、B，连接AB，可作直线l∥AB，当直线l与该抛物线只有一个交点时，可设直线l与坐标轴的交点为C、D，求出△OCD的面积即为抛物线图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积．
【解析】
如图，设抛物线与坐标轴的交点为A、B，则有：
A（4，0），B（0，4）；
作直线l∥AB，易求得直线AB：y=-x+4，
所以设直线l：y=-x+h，当直线l与抛物线只有一个交点（相切）时，有：
-x+h=（x-4）2，
整理得：x2-x+4-h=0，
△=1-4×（4-h）=0，即h=3；
所以直线l：y=-x+3；
设直线l与坐标轴的交点为C、D，则C（3，0）、D（0，3），
因抛物线的图象与两坐标轴所围成的图形面积大于S△OCD小于S△OAB
S△OCD=×3×3=4.5． S△OAB=×4×4=8，
故抛物线的图象与两坐标轴所围成的图形面积在4.5＜S＜8的范围内，选项中符合的只有A，
故选A．