Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为      。

Answer

（2，4）或（3，4）或（8，4）。

【解析】当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论：

（1）如图①所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧，

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4。

在Rt△PDE中，由勾股定理得：

 ，

∴OE=OD－DE=5－3=2。

∴此时点P坐标为（2，4）。

（2）如图②所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧，

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4。

在Rt△PDE中，由勾股定理得：

∴OE=OD+DE=5+3=8，

∴此时点P坐标为（8，4）。

（3）如图③所示，OP=OD=5。

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4。

在Rt△POE中，由勾股定理得：，

∴此时点P坐标为（3，4）。

综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）。

（当OP=PD时，OP不能满足为5的条件）