Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB=．点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与A、D点重合），且∠CEF=∠ACB．
（1）求AC的长与点D的坐标．
（2）说明△AEF与△DCE相似．
（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．

Answer

（1）利用矩形的性质，在Rt△ABC中，利用三角函数求出AC、BC的长度，从而得到A点坐标；由点D与点A关于y轴对称，进而得到D点的坐标；
（2）欲证△AEF与△DCE相似，只需要证明两个对应角相等即可．如图①，在△AEF与△DCE中，易知∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，从而问题解决；
（3）当△EFC为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论：
①当CE=EF时，此时△AEF与△DCE相似比为1，则有AE=CD；
②当EF=FC时，此时△AEF与△DCE相似比为，则有AE=CD；
③当CE=CF时，F点与A点重合，这与已知条件矛盾，故此种情况不存在．
【解析】
（1）由题意tan∠ACB=，∴cos∠ACB=．
∵四边形ABCO为矩形，AB=16，
∴BC==12，AC==20，
∴A点坐标为（-12，0），
∵点D与点A关于y轴对称，
∴D（12，0）．

（2）点D与点A关于y轴对称，∴∠CDE=∠CAO，
∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，
∴∠CDE=∠CEF，
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE（三角形外角性质）
∴∠AEF=∠DCE．
则在△AEF与△DCE中，∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，
∴△AEF∽△DCE．

（3）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：
①当CE=EF时，
∵△AEF∽△DCE，
∴△AEF≌△DCE
∴AE=CD=20，
∴OE=AE-OA=20-12=8，
∴E（8，0）；
②当EF=FC时，如图②所示，过点F作FM⊥CE于M，则点M为CE中点，
∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=EF．
∵△AEF∽△DCE，
∴，即，解得AE=，
∴OE=AE-OA=-12=，
∴E（，0）；
③当CE=CF时，则有∠CFE=∠CEF，
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，
∴∠CFE=∠CAO，即此时E点与D点重合，这与已知条件矛盾．
综上所述，当△EFC为等腰三角形时，点E的坐标为（8，0）或（，0）．