Question

如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5．OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
（2）若PC=2，求⊙O的半径和线段PB的长；
（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．

Answer

（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可；
（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，根据AB=AC推出52-r2=-（5-r）2，求出r，证△DPB∽△CPA，得出=，代入求出即可；
（3）根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范围，再根据相离得出r＜5，即可得出答案．
【解析】
（1）AB=AC，理由如下：
连接OB．
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA=∠OAC=90°，
∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，
∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB，
∵∠OPB=∠APC，
∴∠ACP=∠ABC，
∴AB=AC；

（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，
设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，
则AB2=OA2-OB2=52-r2，
AC2=PC2-PA2=-（5-r）2，
∴52-r2=-（5-r）2，
解得：r=3，
∴AB=AC=4，
∵PD是直径，
∴∠PBD=90°=∠PAC，
又∵∠DPB=∠CPA，
∴△DPB∽△CPA，
∴=，
∴=，
解得：PB=．
∴⊙O的半径为3，线段PB的长为；

（3）作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则可以推出OE=AC=AB=；
又∵圆O要与直线MN交点，
∴OE=≤r，
≤2r，
25-r2≤4r2，
r2≥5，
∴r≥，
∵25-r2≤4r2
又∵圆O与直线相离，
∴r＜5，
即≤r＜5．