Question

设关于x的二次方程（k²-6k+8）x²+（2k²-6k-4）x+k²=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．

Answer

求出二根x1=，x2=，从中消去k得x1x2+3x1+2=0，分解得x1（x2+3）=-2．借助方程组得k=6，3，．
【解析】
原方程可化为（k-4）（k-2）x2+（2k2-6k-4）x+（k-2）（k+2）=0，[（k-4）x+（k-2）][（k-2）x+（k+2）]=0．
∵（k-4）（k-2）≠0
∴x1=，
x2=；
∴k-4=（x1≠-1）①
k-2=（x2≠-1）②
由①②消去k，得 x1•x2+3x1+2=0．
∴x1（x2+3）=-2．
由于x1，x2都是整数．
∴，，，即，，
∴k=6，3，．
经检验，k=6，3，满足题意．