Question

如图，在直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为直径的⊙C与AB交于点D，DE与⊙C相切交x轴于点E，且 OA=12cm，∠OAB=30°．
（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；
（2）过点B作BG⊥EC于 F，交x轴于点G，求BD的长及点F的坐标；
（3）设点P从点A开始沿A→B→G的方向以4cm/s的速度匀速向点G移动，点Q同时从点A开始沿AG匀速向点G移动，当四边形CBPQ为平行四边形时，求点Q的移动速度．

Answer

（1）根据OA⊥OB，∠OAB=30°，OA=，可得AB=2OB，求出AO的长，进而求出直线AB的解析式即可；
（2）利用切线的性质定理以及勾股定理得出EO的长，进而求出FM，MO的长即可；
（3）根据当点P运动到AB中点，点Q运动到AO中点时，PQ∥BC，且PQ=BC，此时四边形CBPQ为平行四边形，点Q与点E重合，以及 当点P运动到BG中点，点Q运动到OG中点时，分别得出答案．
【解析】
（1）由OA⊥OB，∠OAB=30°，OA=，可得AB=2OB．
在Rt△AOB中，由勾股定理得OB=12，AB=24．
∴B（0，12），
∵OA=，
∴A （，0）．
可设直线AB的解析式为：y=ax+b，
∴，
∴，
∴可得直线AB的解析式为：．

（2）连接CD，过F作FM⊥x轴于点M，则CB=CD．
∵∠OBA=90°-∠A=60°，
∴△CBD是等边三角形．
∴BD=CB=OB=6，
∠BCD=60°，∠OCD=120°．
∵OB是直径，OA⊥OB，
∴OA切⊙C于O．
∵DE切⊙C于D，
∴∠COE=∠CDE=90°，∠OEC=∠DEC．
∴∠OED=360°-∠COE-∠CDE-∠OCD=60°．
∴∠OEC=∠DEC=30°．
∴CE=12，CO=6．
∴在Rt△COE中，由勾股定理OE=．
∵BG⊥EC于F，
∴∠GFE=90°．
∵∠GBO+∠BGO=∠OEC+∠BGO，
∴∠GBO=∠OEC=30°．
故可得FC=BC=3，EF=FC+CE=15，
FM=EF=，ME=FM=．
∴MO=．
∴F（，）．

（3）设点Q移动的速度为vcm/s．
（ⅰ）当点P运动到AB中点，点Q运动到AO中点时，PQ∥BC，且PQ=BC，此时四边形CBPQ为平行四边形，点Q与点E重合．
．
∴（cm/s）．
（ⅱ） 当点P运动到BG中点，点Q运动到OG中点时，
PQ∥BC，PQ=BC，此时四边形CBPQ为平行四边形．
可得，BG=．从而PB=，OQ=．
∴．
∴（cm/s）．
∴点Q的速度为cm/s或cm/s．