Question

如图1，在△ABC和△DBE中，AB=AC，DB=DE，∠CAB+∠BDE=180°，∠CAB=α，P为CE的中点，连接AP、DP．若α=120°，探究线段AP、DP的关系．
说明：如果你经过反复探索没有解决问题，可以更改条件将“α=120°”改为“α=90°”，选取图2完成证明得10分．

Answer

根据等腰三角形的性质得出∠AGB=∠BHD，∠ABG=∠1，即可得出△AGB∽△BHD，进而得出四边形GPHB为平行四边形，再得出△DHP∽△PGA，得出线段AP、DP的关系．
【解析】
AP⊥DP，AP=DP．
分别取BC、BE的中点G、H，连接AG、PG、DH、PH，
∵AB=AC，∴∠AGB=90°，
又∵α=120°，
∴∠GAB=α=60°，∠ABG=30°，BG=AG，
∵∠CAB+∠BDE=180°，∴∠BDE=60°，
同理可得∠DHB=90°，∠1=30°，
∴∠AGB=∠BHD，∠ABG=∠1，
∴△AGB∽△BHD，
∴=，
∵P为CE的中点，H为BE的中点，
∴PH∥BG，PH=BC=BG，
∴四边形GPHB为平行四边形，
∴BH=PG，∠2=∠3，
∴=，即=，∠DHP=∠PGA，
∴△DHP∽△PGA，
∴∠4=∠5，===，
∠6=∠5+90°=∠4+∠APD，
∴∠APD=90°，
即AP⊥DP，
AP=DP．