Question

如图这是某次运动会开幕式上点燃火炬时在平面直角坐标系中的示意图，在地面有O、A两个观测点，分别测得目标点火炬C的仰视角为α、β，OA=2米，tanα=，tanβ=，位于点O正上方2米处的D点发射装置，可以向目标C发射一个火球点燃火炬，该火球运行的轨迹为一抛物线，当火球运行到距地面最大高度20米时，相应的水平距离为12米（图中E点）．
（1）求火球运行轨迹的抛物线对应的函数解析式；
（2）说明按（1）中轨迹运行的火球能否点燃目标C．

Answer

（1）本题是抛物线的问题，要充分运用抛物线在直角坐标系中的解析式解题，由已知得抛物线的顶点及经过一点，可设抛物线解析式的顶点式．
（2）确定C点坐标，根据已知条件，需要解直角三角形；作CF⊥x轴，垂足为F，把问题转化到直角三角形中解决．
【解析】
（1）已知顶点E（12，20）可设火球运行抛物线解析式为
y=a（x-12）2+20，
把点D（0，2）代入解析式，
得a=-，
∴火球运行轨迹的抛物线对应的函数解析式为：
y=-（x-12）2+20=-x2+3x+2；

（2）设C（x1，y1），作CF⊥x轴，垂足为F，
则tanα==，
在Rt△AFC中，tanβ==，
解以上两个分式方程得x1=20，y1=12，即C（20，12），
代入y=-x2+3x+2适合，
所以点C在抛物线上，故能点燃目标．