Question

如图，△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，BM交CD于点E，且点E为CD的中点，连接MD，过点D作ND⊥MD于点D，DN交BM于点N．

（1）若BC=，求△BDE的周长；

（2）求证：NE－ME=CM．

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据等腰三角形的判定和性质求出BD=DC的长，由点E为CD的中点得到DE的长，从而由勾股定理求出BE的长，即可得△BDE的周长.

（2）过点D作DF⊥BM于点F，根据△DEF≌△CEM（AAS）和△BDN≌△CDM（ASA）证得∠DNM=∠DMN=45°和∠DNF=∠NDF=45°，得到DF=NF即可得出结论.

（1）∵∠ABC=45°，CD⊥AB，

∴在Rt△BCD中，∠DBC=∠DCB=45°.

∵BC= ，∴BD=CD=2.

∵点E为CD中点，∴DE=CE=CD=1.

∴.

∴.

∴△BDE的周长为.

（2）如图，过点D作DF⊥BM于点F，

∵BM⊥AC，∴∠DFE=∠CME=90°.

在△DEF和△CEM中，∵，∴△DEF≌△CEM（AAS）.

∴DF=CM，FE=ME.

∵ND⊥MD，CD⊥AB，∴∠BDN+∠NDE=∠CDM+∠NDE=90°. ∴∠BDN=∠CDM.

∵CD⊥AB，BM⊥AC，∴∠BDE=∠CDA=90°，∠DBE+∠DEB=∠ACD+∠CEM=90°.

∵∠DEB=∠CEM，∴∠DBE=∠ACD.

在△BDN和△CDM中，∵，∴△BDN≌△CDM（ASA）.

∴DN=DM.

∴在Rt△DMN中，∠DNM=∠DMN=45°；在Rt△DFN中，∠DNF=∠NDF=45°.

∴DF=NF.

又∵DF=CM，FE=ME，∴NE=NF+FE=CM+ME.

∴NE－ME=CM..

考点：1. 等腰三角形的判定和性质；2.勾股定理；3.全等三角形的判定和性质.