Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在x轴上，∠ABC=90°，AB=BC，OA=1，OB=4，抛物

线经过A、C两点．

（1）求抛物线的解析式及其顶点坐标；

（2）如图①，点P是抛物线上位于x轴下方的一点，点Q与点P关于抛物线的对称轴对称，过点P、Q分别向x轴作垂线，垂足为点D、E，记矩形DPQE的周长为d，求d的最大值，并求出使d最大值时点P的坐标；

（3）如图②，点M是抛物线上位于直线AC下方的一点，过点M作MF⊥AC于点F，连接MC，作MN∥BC交直线AC于点N，若MN将△MFC的面积分成2：3两部分，请确定M点的坐标．

Answer

（1），（1，）；（2）（0，）或（2，）；（3）或.

【解析】

试题分析：（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，将A（，0）C(4,5)代入得方程组，解之即可得抛物线的解析式；化为顶点式即可得顶点坐标.

（2）点P为，分和，把矩形DPQE的周长表示为的二次函数，应用二次函数最值原理求解即可.

（3）分和两种情况讨论即可.

（1）由已知得：A（，0）、C（4，5），

∵二次函数的图像经过点A（-1，0）C(4,5)，

∴ ， 解得.

∴抛物线解析式为.

∵，∴顶点坐标为（1，）.

（2）如答图①，由（1）知抛物线的对称轴为直线x=1，

设点P为，

∵P、Q为抛物线上的对称点，∴.

当时，，

∵，∴当t=2使，d有最大值为10，即点P为（2，）

当时，由抛物线的轴对称性得，点P为（0，）时，d有最大值10

综上所述，当P为（0，）或（2，）时，d有最大值10

（3）如答图②，过点F作FH⊥MN于H，过C作CG⊥MN于G，则∠ANM=∠ACB=45°.

∵MF⊥AC，∴ . ∴.

∵A(，0)，C(4，5），∴直线AC解析式为y=x+1.

设点M为，则CG=4－m.

由MN∥BC得点N为（m，m+1），

∴.

当时，有3MN=4CG ，即，

解得：（舍去）.

∴点M为.

当时，有MN=3CG， 即，

解得：（舍去）.

∴点M为.

综上所述，当M为或时，MN将△MFC的面积分成2：3两部分.

考点：1.二次函数综合题；2. 曲线上点的坐标与方程的关系；3.二次函数的性质；4.解一元二次方程；5.分类思想的应用.