Question

如图①，在□ABCD中，对角线AC⊥AB，BC=10，tan∠B=2．点E是BC边上的动点，过点E作EF⊥BC于点E，交折线AB-AD于点F，以EF为边在其右侧作正方形EFGH，使EH边落在射线BC上．点E从点B出发，以每秒1个单位的速度在BC边上运动，当点E与点C重合时，点E停止运动，设点E的运动时间为t（）秒．

（1）□ABCD的面积为              ；当t=              秒时，点F与点A重合；

（2）点E在运动过程中，连接正方形EFGH的对角线EG，得△EHG，设△EHG与△ABC的重叠部分面积为S，请直接写出S与t的函数关系式以及对应的自变量t的取值范围；

（3）作点B关于点A的对称点Bˊ，连接CBˊ交AD边于点M（如图②），当点F在AD边上时，EF与对角线AC交于点N，连接MN得△MNC．是否存在时间t，使△MNC为等腰三角形？若存在，请求出使△MNC为等腰三角形的时间t；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）40，2；（2）；（3）或2或.

【解析】

试题分析：（1）解Rt△ABC，即可求得□ABCD的面积；解Rt△ABC，即可求得t的值.

（2）分，，，讨论即可.

（3）分CM=CN，MC=MN，NM=NC讨论即可.

（1）设AB=a，

∵AC⊥AB，tan∠B=2，∴AC=2a.

∵BC=10，∴， 得.∴AB=，AC=.

∴□ABCD的面积为.

当点F与点A重合时，BF=，tan∠B=2，∴t=2.

（2）当时，△EHG与△ABC的重叠部分为△EHG，如答图①，面积为；

当时，△EHG与△ABC的重叠部分为四边形EHJI，如答图②，面积为；

当时，△EHG与△ABC的重叠部分为四边形EHJI，如答图③，面积为；

当时，△EHG与△ABC的重叠部分为△EHJI，如答图④，面积为.

综上所述，S与t的函数关系式为

（3）存在.

如答图⑤，过点A，M作BC的垂线，垂足分别为I，J.

∵点B关于点A的对称点Bˊ，∴AM是△BˊBC的中位线. ∴AM=5.

∵BI=2，AI=MJ=4，BE=t，∴JC=3，MC=5，EC=，IC=8.

由△CNE∽CAI，得，即，∴NC=.

∴FM=，FN=，∴NM=.

当CM=CN时， .

当 MC=MN时，.

当NM=NC时，.

综上所述，当或2或时，△MNC为等腰三角形.

考点：1.点和面动问题；2.平行四边形的性质；3.锐角三角函数定义；4.勾股定理；5.由实际问题列函数关系式；6.三角形中位线的判定和性质；7.相似 三角形的判定和性质；8.等腰三角形的判定；9.分类思想的应用.