Question

如图，已知抛物线与轴的一个交点．

（1）试分别求出这条抛物线与轴的另一个交点及与轴的交点的坐标．

（2）设抛物线的顶点为，请在图中画出抛物线的草图，若点在直线上，试判断点是否在经过点的反比例函数的图象上，并说明理由；

（3）试求的值．

Answer

（1），；（2）详见解析；（3）．

【解析】

（1）把A点的坐标代入抛物线的解析式，就可以求出m的值，得到抛物线的解析式．在解析式中令y=0，解方程就可以求出与x轴的交点；（2）根据函数解析式就可求出抛物线的顶点坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式．经过C，B的直线解析式可以用待定系数法求得，进而求出E点的坐标．把E的坐标代入反比例函数解析式，就可以判断是否在反比例函数的图象上；（3）过D作DF⊥y轴于点F，则△CFD为等腰直角三角形，△AOC是等腰直角三角形，根据勾股定理就可以求出CD，AC的长度．Rt△ADC中根据三角函数的定义就可以求出三角函数值．

【解析】
（1）因为在抛物线上，

则，解得．

所以抛物线的解析式为．

因为点为抛物线与轴的交点，求得，

因为点为抛物线与轴的交点，求得．

（2）∵，

∴顶点，

画这个函数的草图．

由，点的坐标可求得直线的解析式为，

∵点在上，

∴．

可求得过点的反比例函数的解析式为．

当时，．

∴点不在过点的反比例函数图象上．

（3）过作轴于点，则为等腰直角三角形，且．

连接，则为等腰直角三角形，且．

因为，

∴中，．

另【解析】
∵，

∴．

∵，

∴．