Question

如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物找正好经过点O，C，A三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点D，分别过点P，点D作x轴的垂线，交x轴于R，S两点，问：四边形PRSD的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．

（3）如图2，把点B向下平移两个单位得到点T，过O，T两点作⊙Q交x轴，y轴于E，F两点，若M、N分别为弧、的中点，作MG⊥EF，NH⊥EF，垂足为G、H，试求MG+NH的值．

Answer

（1）y=-x2+4x；（2）当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值10；（3）MG+NH=4．

【解析】

（1）根据旋转变换的性质求出点C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）设点P的坐标为P（a，-a2+4a），根据抛物线的对称性求出RS，根据二次函数的性质计算；
（3）作TK⊥x轴于K，TJ⊥y轴于J，连接TF，TE，延长NH交⊙Q于R，证明△ETK≌△FTJ，根据全等三角形的性质得到EK=FJ，得到OE+OF=8，根据垂径定理得到NH=NR=OF，计算即可．

【解析】
（1）设y=ax2+bx+c，

∵OA=4，AB=2，

∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（4，-2），

△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，

∴点C的坐标为（2，4），

则

解得．

所以抛物线的解析式为y=-x2+4x；

（2）有最大值．

理由如下：设点P的坐标为P（a，-a2+4a），PR=DS=-a2+4a，

由抛物线的对称性知OR=AS，RS=PD=4-2a，

矩形PRSD的周长=2[4-2a+（-a2+4a）]=-2（a-1）2+10，

所以当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值10；

（3）作TK⊥x轴于K，TJ⊥y轴于J，连接TF，TE，延长NH交⊙Q于R，

由题意得，点T的坐标为（4，-4，），即TJ=TK=4，

∴点T在∠EOF的平分线上，

∴=

∴TE=TF，

在Rt△TKE和Rt△TJF中，

，

∴△ETK≌△FTJ（HL），

∴EK=FJ，∠EOF=∠KTJ=90°，

∴OE+OF=OK-EK+OJ+FJ=OJ+OK=8，

∴EF为⊙Q的直径，

∴=，

∵N为的中点，

∴=，

∴=，

∴NR=OF，

∴NH=NR=OF，

同理MG=OE，

∴MG+NH=（OE+OF）=×8=4．