Question

已知的三边长，，，，，都是整数，且，的最大公约数为．点和点分别为的重心和内心，且．则的周长为________．

Answer

【解析】

延长GI分别交BC于点P，AC于点Q，首先证明△CPQ为等腰三角形，根据内心和重心的知识分别表示出△PCQ的面积，进而求出a，b，c之间的等量关系式，最后对a，b，c进行讨论，进而求出a，b和c的值．

延长GI分别交BC于点P，AC于点Q，

∵∠GIC=90°，

∴GI⊥CI，I是内心，

∴△CPQ为等腰三角形，

∴PC=QC，

∴S△PCQ=2S△CQI=r×CQ（r为三角形ABC内切圆半径）

∴S△PCQ=S△PGC+S△CGQ=PC•ha（ha为GE⊥BC的高）+CQ•hb（hb为GF⊥AC的高）=CQ（ha+hb）=r×CQ，

∴2r=ha+hb①，

∵r=②，

∵S△ABC=×a•ha'（ha'为AM⊥BC的高）=×a•ha，

∴ha=，hb=，

∴ha+hb=+③，

把②③代入①得，

当a=2，b=2时，c=2，

∵△ABC为等边三角形，

∴GI重合，舍去，

∴a≠b，

设a＞b，a=2m，b=2n，

∵a、b的最大公约数为2，

∴（m，n）=1，

∴m+n整除12，

即m=7，n=5，

∴a=14，b=10，c=11，

∴a+b+c=35．

故答案为：35