Question

如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 的中点，点 P 在射线 AD 上，过点 P 作 PF⊥AE，垂足为 F．

（1）求证：△PFA∽△ABE；

（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA=x，是否存在实数 x，使以 P，F，E 为顶点的三角形也与△ABE

相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）当x=2或x=5时，以P，F，E为顶点的三角形与△ABE相似．

【解析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；
（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．

证明：∵正方形ABCD

∴AD∥BC ，∠B=90°

∴∠PAF=∠AEB

∵PF⊥AE

∴∠PFA=∠B=90°

∴△PFA∽△ABE .

（2）情况1，当△EFP∽ABE时，则有∠PEF=∠EAB，

∴PE∥AB， ∵AD∥BC ∠B=90°

∴四边形ABEP为矩形

∴PA=EB=2，即x=2.

情况2，当△PFE∽△ABE时，且∠PEF=∠AEB时，

∵∠PAF=∠AEB

∴∠PEF=∠PAF，

∴PE=PA

∵PF⊥AE

∴点F为AE的中点

∵AE=

∴，

由，得：

∴PE=5， ∴PA= PE=5，即x=5.

∴当x=2或x=5时，以P，F，E为顶点的三角形与△ABE相似．