Question

如图，点P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于B、C两点．

（1）求证：△PBA∽△PAC；

（2）若∠BAP=30°，PB=2，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析（2）2

【解析】

（1）利用弦切角定理可以证明：∠PAB=∠C，则△PBA和△PAC中有两个角对应相等，则一定相似；

（2）易证△OAB是等边三角形，再证明AB=BP，即可求解．

（1）证明：∵PA作⊙O的切线，切点为A，

∴∠PAB=∠C，

又∵∠P=∠P，

∴△PBA∽△PAC；

（2）∵PA作⊙O的切线，切点为A，

∴∠OAP=90°，

∵∠BAP=30°，

∴∠OAB=60°，

∵OA=OB，

∴∠ABO=60°，

∴∠P=30°

∴∠AOB=90°﹣∠P=90°﹣30°=60°．

∵OA=OB

∴△OAB是等边三角形．

∴OB=AB．

∵PA作⊙O的切线，切点为A，

∴∠PAB=∠AOB=30°，

∴∠PAB=∠P，

∴AB=BP

∴OB=AB=BP=2．