Question

如图，点A，E是半圆周上的三等分点，直径BC=2，AD⊥BC，垂足为D，连接BE交AD于F，过A作AG∥BE交BC于G．

（1）判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由．

（2）求线段AF的长．

Answer

（1）AG与⊙O相切，理由见解析（2）

【解析】【解析】
（1）直线AG与⊙O的位置关系是AG与⊙O相切，理由如下：

连接OA，

∵点A，E是半圆周上的三等分点，

∴。∴点A是的中点。

∴OA⊥BE。

又∵AG∥BE，∴OA⊥AG。∴AG与⊙O相切。

（2）∵点A，E是半圆周上的三等分点，∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°。

又∵OA=OB，∴△ABO为正三角形。

又∵AD⊥OB，OB=1，∴BD=OD=，AD=。

又∵∠EBC=∠EOC=30°，

在Rt△FBD中，FD=BD•tan∠EBC=BD•tan30°=。

∴AF=AD﹣DF=。

答：AF的长是。

（1）求出弧AB=弧AE=弧EC，推出OA⊥BE，根据AG∥BE，推出OA⊥AG，根据切线的判定即可得出答案。

（2）求出等边三角形AOB，求出BD、AD长，求出∠EBC=30°，在△FBD中，通过解直角三角形求出DF即可。