Question

如图，已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA=GE．

（1）求证：AG与⊙O相切．

（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题（1）连接OA，由OA=OB，GA=GE得出∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE；再由EF⊥BC，得出∠BFE=90°，进一步由∠ABO+∠BEF=90°，∠BEF=∠GEA，最后得出∠GAO=90°求得答案；

（2）BC为直径得出∠BAC=90°，利用勾股定理得出BC=10，由△BEF∽△BCA，求得EF、BF的长，进一步在△OEF中利用勾股定理得出OE的长即可．

试题解析：（1）证明：如图，

连接OA，

∵OA=OB，GA=GE

∴∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE

∵EF⊥BC，

∴∠BFE=90°，

∴∠ABO+∠BEF=90°，

又∵∠BEF=∠GEA，

∴∠GAE=∠BEF，

∴∠BAO+∠GAE=90°，

即AG与⊙O相切．

（2）【解析】
∵BC为直径，

∴∠BAC=90°，AC=6，AB=8，

∴BC=10，

∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，

∴△BEF∽△BCA，

∴

∴EF=1．8，BF=2．4，

∴0F=0B-BF=5-2．4=2．6，

∴OE=．