Question

如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1.

(1)求证：△ABE≌△CAD；

(2) 求BE的长

Answer

（1）证明见解析；（2）7

【解析】

（1）根据AE=CD，AB=AC，∠BAC=∠C即可求得△ABE≌△CAD；

（2）由（1）得∠AEB=∠ADC，即可求得∠BPQ=∠C，即可求得BP的长，即可解题．

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC，

∴∠BAC=∠C=60°，

∵AB=AC，AE=CD，

∴△ADC≌△BEA，

（2）∵△ADC≌△BEA，

∴∠ABE=∠CAD，

∵∠CAD+∠BAD=60°，

∴∠ABE+∠BAD=60°，

∴∠BPQ=60°，

∵BQ⊥AD，

∴∠PBQ=30°，

∴BP=2PQ，

∴BP=6，

∴BE=BP+PE=6+1=7.