Question

如图，在中，AC=BC，∠ACB=90^o，D为AB的中点，E为线段AD上一点，过E点的线段FG交CD的延长线于点G，交AC于点F，且，分别延长、交于点H，若EH平分∠AEG，HD平分∠CHG。则下列说法：①∠GDH=45^o；②GD=ED； ③EF=2DM； ④CG=2DE+AE，正确的是_________________ （填番号）

Answer

①②④

【解析】

①作DQ⊥CH，DN⊥BH，先证明Rt△CQD≌Rt△BND，得出∠QCD=∠NBD；再证明Rt△CHD≌Rt△BHD，得出∠HDC=∠HDB，即∠HDE=∠HDG；最后根据∠ADG=90°，即可得出

②EH平分∠AEG，得出∠AEH=∠GEH，从而得出补角相等，即∠AEC=∠GEC，进而证明△AEC≌△GEC，得出∠A=∠FGC=45°，根据内角和得出∠GED=∠FGC=45°即可得出

③由∠A=∠DGE证明△AEF≌△GED，得出EF=DE=DG；根据已知求出∠HDA =∠DEG=45°

得出EM=DM，即△EDM为直角三角形，再根据勾股定理即可求出DE与DM的关系，从而得出EF与DM的关系

④根据已知，得出AD=CD；由DE=GD，AD=AE+DE ，代入CG=CD+DG，即可得出

∵∠ACB=90°，AC=BC,

∴∠A=∠CBA=45°

∵D为AB的中点，AC=BC,

∴CD⊥AB

∴∠DCB=∠CBA=45°

∴CD=BD

作DQ⊥CH，DN⊥BH

∴∠CQD=∠DNB=90°

∵HD平分∠CHG

∴DQ=DN

∴在Rt△CQD和Rt△BND中，

∴Rt△CQD≌Rt△BND

∴∠QCD=∠NBD

∵HD平分∠CHG

∴∠EHD=∠DHG

∴在Rt△CHD和Rt△BHD中，

∴Rt△CHD≌Rt△BHD（AAS）

∴∠HDC=∠HDB

∵CD⊥AB

∴∠ADC=∠CDB=∠ADG=∠BDG=90o

∴∠HDC-∠ADC=∠HDB-∠BDG

∴∠HDE=∠HDG

∵∠ADG=90°

∴∠HDE=∠HDG=45°

∴∠GDH=45°

故①正确

②∵EH平分∠AEG，

∴∠AEH=∠GEH

∴∠AEC=∠GEC

∴在△AEC和△GEC中，

∴△AEC≌△GEC（SAS）

∴∠A=∠FGC

∵∠ACB=90°，AC=BC

∴∠A=∠CBA=45°

∴∠FGC=45°

∴AC=BC,O为AB中点， CD⊥AB

∴∠ADG=90°

∴∠GED=∠FGC=45°

∴GD=ED

故②正确

③∵∠ACB=90°，AC=BC，D为AB的中点

∴∠CAB=∠CBA=45°，CD⊥AB

∴∠ADG=90°，

由②得DE=GD

∴∠DEG=∠DGE=45°

∴∠A=∠DGE=45°

∴在△AEF和△GED中，

∴△AEF≌△GED（ASA）

∴EF=DE=DG

∵∠GDH=45°

∴∠HDA=45°

∴∠HDA =∠DEG=45°

∴EM=DM

∴∠EMD =90°，

∴在Rt△EMD中，∠EMD =90°

∴DE==

∴EF=DE=

∴③EF=2DM错误

④∵∠ACB=90°，AC=BC,

∴∠A=∠CBA=45°

∵D为AB的中点，AC=BC,

∴CD⊥AB

∴∠A=∠ACD=45°

∴AD=CD

∵CG=CD+DG

∴CG=AD+DG

由②得DE=GD

∴CG=AD+DE

∵AD=AE+DE

∴CG=AE+DE+DE

∴CG=AE+2DE

故④正确

综上，故答案为：①②④