Question

如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC、BC.

（1）求证：AC平分∠BAD.

（2）求证：.

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC⊥PE，则判断OC∥AE，所以∠EAC=∠ACO，然后利用∠OCA=∠OAC得到∠EAC=∠OAC；

（2）利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再证明△ACP∽△CBP即可得出结论.

（1）如图所示，连接OC，

∵CP是⊙O的切线，

∴OC⊥CE；

又AE⊥CE，

∴OC∥AD，

∴∠EAC=∠ACO，

∵OC=OA，

∴∠CAO=∠ACO，

∴∠EAC=∠CAO，即AC平分∠DAB．

(2)∵AB为⊙O的直径，

∴∠BCA=90°

∴∠ACO+∠OCB=90°，

∵CP是⊙O的切线，

∴∠BCP+∠OCB=90°，

∴∠ACO=∠BCP

∵∠P=∠P

∴△ACP∽△CBP

∴