Question

如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以lcm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为l，设运动时间为t秒．

（1）若AC＝5，则当t＝时，四边形AMQN为菱形；当t＝时，NQ与⊙O相切；

（2）当AC的长为多少时，存在t的值，使四边形AMQN为正方形？请说明理由，并求出此时t的值．

Answer

（1），；（2）AC=3，t=1．

【解析】

（1）AP=t,CQ=t,则PQ=5-2t,由于NM⊥AB，根据垂径定理得PM=PN,根据菱形的判定方法，当PA=PQ时，四边形AMQN为菱形，即t=5-2t，然后解一元一次方程可求t的值；根据切线的判定定理，当∠ONQ=90º时，NQ与⊙O相切，如图，此时OP=t-1，OQ=AC-OA-QC=4-t，再证明Rt△ONP∽Rt△ONQ，利用相似比可得t2-5t+5=0，然后解一元二次方程可得到t的值；

（2）当四边形AMQN为正方形，则∠MAN=90º，又可判断AQ为直径，于是得到点P在圆心，所以t=AP=1，CQ=t=1，则得到此时AC=AQ+CQ=3．

（1），；

（2）当AC的长为3时，存在t=1，使四边形AMQN为正方形．理由如下：

∵四边形AMQN为正方形．

∴∠MAN=90º．∴MN为⊙O的直径；

∴MN=AQ=2．∴t=AP==1，

又∵CQ=t=1，∴AC=AQ+CQ=2+1=3