Question

如图，△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠BCA的平分线与AB的垂直平分线DG交于点D，DE⊥CA的延长线于点E，DF⊥CB于点F．

(1)判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)求证：AE＝BF；

(3)求DG的长．

Answer

(1)直角三角形；(2)过程见解析；(3)5.

【解析】

(1)根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC是直角三角形；

(2)根据中垂线、角平分线的性质来证明Rt△AED≌Rt△BFD，然后根据全等三角形的对应边相等推知AE=BF；

(3)首先根据(1)和(2)得出的结论，证明△ADB是直角三角形，再利用三线合一的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而得出DG．

解：(1)∵AC=6，BC=8，AB=10，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形；

(2)证明：连接AD、BD，

∵CD是∠BCA的平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，

∴DE=DF，

∵DG是AB边的垂直平分线，

∴DA=DB，

在Rt△AED和Rt△BFD中，

∴Rt△AED≌Rt△BFD（HL），

∴AE=BF；

(3)由(1)得∠ACB=90°，

∵∠E=∠DFC=90°

∴∠EDF=90°，

由(2)知∠EDA=∠FDB，

∴∠ADB=90°，

∵DG⊥AB，DA=DB，

∴DG=AB=5．

故答案为：(1)直角三角形；(2)过程见解析；(3)5.