Question

如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．

（1）若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；

（2）若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；

（3）若|∠AOC﹣∠BOF|=α°，请直接写出∠AOC和∠BOF的度数．（用含的代数式表示）

Answer

（1）∠BOF=33°；（2）∠AOC=72°；(3) ∠AOC=2x=（）°﹣α°，∠BOF=（）°+α°．

【解析】

试题

（1）由∠AOC=76°易得∠BOD=76°，结合OE平分∠BOD可得∠DOE=∠BOE=38°，由此可得∠COE=180°-38°=142°，结合OF平分∠COE可得∠EOF=71°，最后由∠BOF=∠EOF-∠BOE即可求得∠BOF的度数；

（2）设∠BOE=x，由OE平分∠BOD，∠AOC=∠BOD可得∠DOE=∠BOE=x，∠AOC=2x，结合∠BOF=36°，OF平均∠EOF可得∠COF=∠EOF=x+36°，最后由∠AOC+∠COF+∠BOF=180°即可列出关于x的方程，解方程求得x的值即可求得∠AOC的度数；

（3）设∠BOE=x，则由已知条件易得∠AOC=2x，∠BOF=90°-x，这样结合|∠AOC﹣∠BOF|=α°即可列出关于x的方程，解方程求得x的值即可求得∠AOC和∠BOF的值.

试题解析：

（1）∵∠BOD=∠AOC=76°，

又∵OE平分∠BOD，

∴∠DOE=∠BOD=×76°=38°．

∴∠COE=180°﹣∠DOE=180°﹣38°=142°，

∵OF平分∠COE，

∴∠EOF=∠COE=×142°=71°，

∴∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=71°﹣38°=33°．

（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，

∴∠BOE=∠EOD，∠COF=∠FOE，

∴设∠BOE=x，则∠DOE=x，

故∠COA=2x，∠EOF=∠COF=x+36°，

则∠AOC+∠COF+∠BOF=2x+x+36°+36°=180°，

解得：x=36°，

故∠AOC=72°．

（3）设∠BOE=x，

∵OE平分∠BOD，∠BOD=∠AOC，

∴∠DOE=x，∠COA=2x，

∴∠BOC=180°-2x，

∴∠COE=180°-x，

∵OF平分∠COE，

∴∠EOF=90°-x，

∴∠BOF=90°﹣x，

∵|∠AOC﹣∠BOF|=α°，

∴|2x﹣（90°﹣x）|=α°，

解得：x=（）°+α°或x=（）°﹣α°，

当x=（）°+α°时，

∠AOC=2x=（）°+α°，

∠BOF=90°﹣x=（）°﹣α°；

当x=（）°﹣α°时，

∠AOC=2x=（）°﹣α°，

∠BOF=90°﹣x=（）°+α°．