Question

正方形ABCD的边长是4，点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点，若△PBE是等腰三角形，则腰长为________．

Answer

2或或

【解析】分情况讨论：

(1)当PB为腰时，若P为顶点，则E点与C点重合，如图1所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=∠D=90°，

∵P是AD的中点，

∴AP=DP=2，

根据勾股定理得：BP===；

若B为顶点，则根据PB=BE′得，E′为CD中点，此时腰长PB=；

(2)当PB为底边时，E在BP的垂直平分线上，与正方形的边交于两点，即为点E；

①当E在AB上时，如图2所示：

则BM=BP=，

∵∠BME=∠A=90°，∠MEB=∠ABP，

∴△BME∽△BAP，

∴，即，

∴BE=；

②当E在CD上时，如图3所示：

设CE=x，则DE=4−x，

根据勾股定理得：BE2=BC2+CE2，PE2=DP2+DE2，

∴42+x2=22+(4−x)2，

解得：x=，

∴CE=，

∴BE= ==；

综上所述：腰长为：，或，或；

故答案为：，或，或.