Question

如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD.

(1)求证：△ECG≌△GHD；

(2)小亮同学经过探究发现：AD＝AC＋EC.请你帮助小亮同学证明这一结论；

(3)若∠B＝30°，判断四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．

Answer

(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)四边形AEGF是菱形，理由见解析.

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质及角平分线的定义可得∠CAG＝∠FGA，即可证得AC∥FG；已知DE⊥AC，由此可得FG⊥DE，再由FG⊥BC可得 DE∥BC，所以AC⊥BC，从而得∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED；因为F是AD的中点，FG∥AE，可得H是ED的中点，所以FG是线段ED的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得GE＝GD，所以∠GDE＝∠GED，即可得∠CGE＝∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD；（2）过点G作GP⊥AB于点P，易证△CAG≌△PAG，根据全等三角形的性质可得AC＝AP，GC＝GP；再证明Rt△ECG≌Rt△DPG，即可得EC＝DP，由此即可证得结论；（3）四边形AEGF是菱形，根据已知条件易证AE＝AF＝FG，再由AE∥FG，即可判定四边形AEGF是菱形．

(1)证明：∵AF＝FG，

∴∠FAG＝∠FGA，

∵AG平分∠CAB，∴∠CAG＝∠FAG，

∴∠CAG＝∠FGA，∴AC∥FG.

∵DE⊥AC，∴FG⊥DE，

∵FG⊥BC，∴DE∥BC，∴AC⊥BC，

∴∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED，

∵F是AD的中点，FG∥AE，

∴H是ED的中点，

∴FG是线段ED的垂直平分线，

∴GE＝GD，∴∠GDE＝∠GED，

∴∠CGE＝∠GDE，

∴△ECG≌△GHD.

(2)证明：过点G作GP⊥AB于点P，如图．

∴GC＝GP，∴△CAG≌△PAG，

∴AC＝AP，GC＝GP.

由(1)得GE＝GD，

∴Rt△ECG≌Rt△DPG，

∴EC＝DP，

∴AD＝AP＋PD＝AC＋EC.

(3)【解析】
四边形AEGF是菱形，理由如下：

∵∠B＝30°，∴∠ADE＝30°，

∴AE＝AD，∴AE＝AF＝FG，

由(1)得AE∥FG，

∴四边形AEGF是菱形．