Question

我县在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）

（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？

Answer

(1) ,;(2) 当时，W有最大值1125，年产量为75

万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；

【解析】

（1）利用待定系数法可求出y与x以及z与x之间的函数关系式；

（2）根据（1）的表达式及毛利润=销售额-生产费用，可得出w与x之间的函数关系式，再利用配方法求函数最值即可．

（1）图①可得函数经过点（100，1000），

设抛物线的解析式为y＝ax2（a≠0），

将点（100，1000）代入得：1000＝10000a，

解得：a＝，

故y与x之间的关系式为y＝x2；

（2）图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20），

设z＝kx+b，则，

解得：，

故z与x之间的关系式为z＝﹣x+30；

W＝zx﹣y＝﹣x2+30x﹣x2

＝﹣（x﹣75）2+1125，

∵﹣＜0，

∴当x＝75时，W有最大值1125，

∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元．