Question

如图，是的直径，切于点，点是上的一点，且，.

（1）求证：是的切线；

（2）若的半径为2，求弦及，的长.

Answer

(1)见解析;(2)PA=PB=AB=2.

【解析】

（1）连接OB，证PB⊥OB．根据四边形的内角和为360°，结合已知条件可得∠OBP=90°得证．

（2）连接OP，根据切线长定理得直角三角形，运用三角函数求解．

（1）证明：连接OB．

∵OA=OB，

∴∠OBA=∠BAC=30°．

∴∠AOB=180°-30°-30°=120°．

∵PA切⊙O于点A，

∴OA⊥PA，

∴∠OAP=90°．

∵四边形的内角和为360°，

∴∠OBP=360°-90°-60°-120°=90°．

∴OB⊥PB．

又∵点B是⊙O上的一点，

∴PB是⊙O的切线． 

（2）连接OP；

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=∠APB=30°．

在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，

∴OP=2OA=2×2=4，

∴PA=＝＝2．

∵PA=PB，∠APB=60°，

∴PA=PB=AB=2．