Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在AB、AC上，且CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CF，连接EF．

（1）求证：△BDC≌△EFC；

（2）若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）根据旋转的性质可得CD=CF，∠DCF=90°，然后根据同角的余角相等求出∠BCD=∠ECF，再利用“边角边”证明即可；

（2）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠F=90°，再根据全等三角形对应角相等可得∠BDC=∠F．

（1）由旋转的性质得，CD＝CF，∠DCF＝90°，

∴∠DCE+∠ECF＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BCD+∠DCE＝90°，

∴∠BCD＝∠ECF，

在△BDC和△EFC中，

，

∴△BDC≌△EFC（SAS）；

（2）∵EF∥CD，

∴∠F+∠DCF＝180°，

∵∠DCF＝90°，

∴∠F＝90°，

∵△BDC≌△EFC，

∴∠BDC＝∠F＝90°．