Question

已知是等边三角形，点D是BC边上一动点，连结AD

如图1，若，，求AD的长；

如图2，以AD为边作，分别交AB，AC于点E，F．

小明通过观察、实验，提出猜想：在点D运动的过程中，始终有，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法

想法1：利用AD是的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．

想法2：利用AD是的角平分线，构造的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．

请你参考上面的想法，帮助小明证明一种方法即可

小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF的面积与AD长存在很好的关系若用S表示四边形AEDF的面积，x表示AD的长，请你直接写出S与x之间的关系式．

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

由等边三角形的性质可求，，，由勾股定理可求AG，AD的长；

想法1：过点A作于点M，作，交DE的延长线于点H，由角平分线的性质可得，由“AAS”可证≌，可得；

想法2：延长DE至N，使，由“SAS”可证≌，可得，，由四边形内角和为，可得，可得；

由想法1可得．

如图，过点A作于点G，

，，

，

是等边三角形，，

，，

，

在中，，

在中，

想法1：如图，过点A作于点M，作，交DE的延长线于点H，

平分，，

，

，

，

，

，且，

，且，，

≌

，

想法2：如图，延长DE至N，使，

，，，

≌

，，

，

，

，

，且，

，

，

，

如图，

由中想法1可得≌，

，

，

，，

，，

，

，，

≌

，

．