Question

（问题情境）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC²=AD·AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；

（结论运用）如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF．

（1）试利用射影定理证明△ABC∽△BED；

（2）若DE=2CE，求OF的长．

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

(1)可根据相似三角形的判定得到△ABC∽△BED；
（2）先计算出DE,CE，BE，OB的长度，再利用（1）中结论△ABC∽△BED结合比例性质解出OF．

（1）如图1．

∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，

而∠CAD=∠BAC，

∴Rt△ACD∽Rt△ABC，

∴AC：AB=AD：AC，

∴

如图2．

∵四边形ABCD为正方形，∴OC⊥BO，∠BCD=90°，

∴

∵CF⊥BE，∴，

∴BO•BD=BF•BE，即=，

而∠OBF=∠EBD，∴△BOF∽△BED；

（2）∵BC=CD=6，而DE=2CE，∴DE=4，CE=2．

在Rt△BCE中，BE==2．在Rt△OBC中，OB=BC=3．

∵△BOF∽△BED，

∴=，即=，∴OF=．