Question

Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y＝在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．

（1）求m与n的数量关系；

（2）当时，求反比例函数的解析式和直线AB的解析式；

（3）设P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B、C、P为顶点的三角形与△EDB相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）n＝2m；（2）y＝，y＝x+1．（3）点P的坐标为（1，）；（，）．

【解析】

（1）将D（4，m）、E（2，n）代入反比例函数y=解析式，进而得出n，m的关系；

（2）利用△BDE的面积为2，得出m的值，进而得出D，E，B的坐标，利用待定系数法求出一次函数与反比例函数关系式即可；

（3）利用△AEO与△EFP 相似存在两种情况，分别利用图形分析得出即可．

（1）∵D（4，m）、E（2，n）在反比例函数y＝的图象上，

∴4m＝k，2n＝k，

整理得：n＝2m；

（2）如图1，过点E作EH⊥BC，垂足为H．

在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝，EH＝2，所以BH＝1．

因此D（4，m），E（2，2m），B（4，2m+1）．

已知△BDE的面积为2，

∴•BD•EH＝（m+1）×2＝2，

所以解得m＝1．

因此D（4，1），E（2，2），B（4，3）．

因为点D（4，1）在反比例函数y＝的图象上，

所以k＝4．

因此反比例函数的解析式为：y＝．

设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入B（4，3）、E（2，2），

得，解得：，

因此直线AB的函数解析式为：y＝x+1．

（3）如图2，作EH⊥BC于H，PF⊥BC于F，

当△BED∽△BPC时，

，

∴，

∵BF＝1，

∴BH＝，

∴CH＝，可得＝x+1，x＝1，

点P的坐标为（1，）；

如图3，当△BED∽△BCP时，，

∵EF＝2，BF＝1，由勾股定理，BE＝，

∴，，

∴，BF＝1，BH＝，

∴CH＝，可得＝x+1，x＝，

点P的坐标为（，）

点P的坐标为（1，）；（，）．