Question

如图，在中，，D在边AC上，且．

如图1，填空______，______

如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线于H，分别交直线AB、BC与点N、E．

求证：是等腰三角形；

试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．

Answer

（1）36，72；（2）①证明见解析；②CD=AN+CE，证明见解析.

【解析】

（1）根据题意可得△ABC，△BCD，△ABD都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得∠A=∠DBA=∠DBC=∠ABC=∠C，然后利用三角形的内角和即可得解；

（2）①通过“角边角”证明△BNH≌△BEH，可得BN=BE，即可得证；

②根据题意可得AN=AB﹣BN=AC﹣BE，CE=BE﹣BC，CD=AC﹣AD=AC﹣BD=AC﹣BC，则可得CD=AN+CE.

【解析】
（1）∵BD=BC，

∴∠BDC=∠C，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∴∠A=∠DBC，

∵AD=BD，

∴∠A=∠DBA，

∴∠A=∠DBA=∠DBC=∠ABC=∠C，

∵∠A+∠ABC+∠C=5∠A=180°，

∴∠A=36°，∠C=72°；

故答案为：36，72；

（2）①∵∠A=∠ABD=36°，∠B=∠C=72°，

∴∠ABD=∠CBD=36°，

∵BH⊥EN，

∴∠BHN=∠EHB=90°，

在△BNH与△BEH中，

，

∴△BNH≌△BEH（ASA），

∴BN=BE，

∴△BNE是等腰三角形；

②CD=AN+CE，理由：由①知，BN=BE，

∵AB=AC，

∴AN=AB﹣BN=AC﹣BE，

∵CE=BE﹣BC，

∴AN+BE=AC﹣BC，

∵CD=AC﹣AD=AC﹣BD=AC﹣BC，

∴CD=AN+CE.