Question

如图,在△ABC中,点E在AC上,∠AEB=∠ABC.

(1)图1中,作∠BAC的角平分线AD,分别交CB、BE于D、F两点,求证:∠EFD=∠ADC；

(2)图2中,作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD,分别交CB、BE的延长线于D、F两点,试探究(1)中结论是否仍成立?为什么?

Answer

（1）证明见解析；（2）（1）中结论仍成立，理由见解析.

【解析】

（1）首先根据角平分线的性质可得∠BAD=∠DAC，再根据内角与外角的性质可得∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，进而得到∠EFD=∠ADC；

（2）首先根据角平分线的性质可得∠BAD=∠DAG，再根据等量代换可得∠FAE=∠BAD，然后再根据内角与外角的性质可得∠EFD=∠AEB-∠FAE，∠ADC=∠ABC-∠BAD，进而得∠EFD=∠ADC．

（1）∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAC，

∵∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，

又∵∠AEB=∠ABC，

∴∠EFD=∠ADC；

（2）探究（1）中结论仍成立；理由：

∵AD平分∠BAG，

∴∠BAD=∠GAD，

∵∠FAE=∠GAD，

∴∠FAE=∠BAD，

∵∠EFD=∠AEB-∠FAE，∠ADC=∠ABC-∠BAD，

又∵∠AEB=∠ABC，

∴∠EFD=∠ADC．