Question

在平面直角坐标系中,o为坐标原点,点A的坐标为(,3),点B的坐标(,6).

(1)若AB与坐标轴平行,求AB的长；

(2)若满足AC⊥轴,垂足为C,BD⊥轴,垂足为D:

①求四边形ACDB的面积；

②连AB、OA、OB,若△OAB的面积大于6而小于10,求的取值范围。

Answer

（1）AB＝3；（2）①9；②6＜a＜或﹣＜a＜﹣2

【解析】

（1）分析题意可知，AB与y轴平行，则AB的长为两点的纵坐标之差；

（2）①先解方程组得到b﹣a＝2，则根据梯形的面积公式可计算出四边形ACDB的面积为9；

②分类讨论：当a＞0，S△OAB＝S△OBD﹣S△OAC﹣S梯形ACDB＝a﹣3，则6＜a﹣3＜10，解得6＜a＜；当a＜0，b＞0，S△OAB＝S梯形ACDB﹣S△OBD﹣S△OAC＝3﹣a，则6＜3﹣a＜10，解得﹣＜a＜﹣2，而b＝2+a＞0，则a＞﹣2，故舍去；当a＜0，b＜0，S△OAB＝S△OBD+S梯形ACDB﹣S△OAC＝3﹣a，则6＜3﹣a＜10，解得﹣＜a＜﹣2，于是得到a的取值范围为6＜a＜或﹣＜a＜﹣2．

（1）∵AB与坐标轴平行，即AB平行于y轴，

∴AB＝6﹣3＝3；

（2）①由方程组得b﹣a＝2，

∵AC⊥x轴，垂足为C，BD⊥x轴，垂足为D，

∴C（a，0），D（b，0），如图，

∴四边形ACDB的面积＝•（3+6）•（b﹣a）＝•9•2＝9；

②当a＞0，

∵S△OAB＝S△OBD﹣S△OAC﹣S梯形ACDB，

∴S△OAB＝•6•b﹣•3•a﹣9＝3b﹣a﹣9，

而b＝2+a，

∴S△OAB＝3（2+a）﹣a﹣9＝a﹣3，

∴6＜a﹣3＜10，解得6＜a＜；

当a＜0，b＞0，

S△OAB＝S梯形ACDB﹣S△OBD﹣S△OAC＝9﹣•6•b+•3•a＝9﹣3b+a＝9﹣3（2+a）+a＝3﹣a

∴6＜3﹣a＜10，解得﹣＜a＜﹣2，

而b＝2+a＞0，则a＞﹣2，故舍去，

当a＜0，b＜0，

∵S△OAB＝S△OBD+S梯形ACDB﹣S△OAC＝﹣•6•b+9+•3•a＝﹣3b+9+a＝﹣3（2+a）+9+a＝3﹣a

∴6＜3﹣a＜10，解得﹣＜a＜﹣2，

综上所述，a的取值范围为6＜a＜或﹣＜a＜﹣2．