Question

如图，平面直角坐标系中，ABCD为长方形，其中点A、C坐标分别为（﹣8，4）、（2，﹣8），且AD∥x轴，交y轴于M点，AB交x轴于N．

（1）求B、D两点坐标和长方形ABCD的面积；

（2）一动点P从A出发（不与A点重合），以个单位/秒的速度沿AB向B点运动，在P点运动过程中，连接MP、OP，请直接写出∠AMP、∠MPO、∠PON之间的数量关系；

（3）是否存在某一时刻t，使三角形AMP的面积等于长方形面积的？若存在，求t的值并求此时点P的坐标；若不存在请说明理由．

Answer

（1）B（﹣8，﹣8），D（2，4），120；（2）∠MPO=∠AMP+∠PON；∠MPO=∠AMP-∠PON；（3）存在，P点坐标为（﹣8，﹣6）．

【解析】

（1）利用点A、C的坐标和长方形的性质易得B（﹣8，﹣8），D（2，4），然后根据长方形的面积公式即可计算长方形ABCD的面积；

（2）分点P在线段AN上和点P在线段NB上两种情况进行讨论即可得；

（3）由于AM=8，AP=t，根据三角形面积公式可得S△AMP =t，再利用三角形AMP的面积等于长方形面积的，即可计算出t=20，从而可得AP=10，再根据点的坐标的表示方法即可写出点P的坐标.

（1）∵点A、C坐标分别为（﹣8，4）、（2，﹣8），

∴B（﹣8，﹣8），D（2，4），

长方形ABCD的面积=（2+8）×（4+8）=120；

（2）当点P在线段AN上时，作PQ∥AM，如图，

∵AM∥ON，∴AM∥PQ∥ON，∴∠QPM=∠AMP，∠QPO=∠PON，

∴∠QPM+∠QPO=∠AMP+∠PON，即∠MPO=∠AMP+∠PON；

当点P在线段NB上时，作PQ∥AM，如图，

∵AM∥ON，∴AM∥PQ∥ON，∴∠QPM=∠AMP，∠QPO=∠PON，

∴∠QPM-∠QPO=∠AMP-∠PON，即∠MPO=∠AMP-∠PON；

（3）存在，

∵AM=8，AP=t，∴S△AMP=×8×t=2t，

∵三角形AMP的面积等于长方形面积的，

∴2t=120×=40，∴t=20,AP=×20=10，

∵AN=4，

∴PN=6

∴P点坐标为（﹣8，﹣6）．