Question

已知△ABC是等边三角形．

（1）如图1，△BDE也是等边三角形，求证AD=CE；

（2）如图2，点D是△ABC外一点，且∠BDC=30°，请探究线段DA、DB、DC之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，点D是等边三角形△ABC外一点，若DA=13， DB= ，DC=7，试求∠BDC的度数．

图1                            图2                          图3

Answer

（1）证明见解析；（2）DB2+DC2=DA2，证明见解析；（3）∠CDB=75°.

【解析】（1）根据已知条件证明△ABD≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等即可得；

（2）以BD为边作等边△BDE，连CE， 由（1）可知△ABD≌△CBE，则有AD=CE ，根据∠CDE=90°，则有CD2+DE2=CE2，即可得到DB2+DC2=DA2 ；

（3）以BD为边作等边△BDE，连CE，过E作EH⊥CD交CD的延长线于点H，则有△ABD≌△CBE（AAS），从而得AD=CE=13，设DH=x，在Rt△DEH和Rt△CEH中利用勾股定理得到关于x的方程，解方程求得x的值，然后可得到EH=DH，从而有∠EDH=45°，继而可得到∠CDB的度数.

（1）∵△ABC和△BDE均为等边三角形，

∴BC=BA，BD=BE，∠ABC=∠EBD=60° ，

∴∠ABD=∠EBC，

∴△ABD≌△CBE（AAS），

∴AD=CE；

（2）结论： DB2+DC2=DA2，

以BD为边作等边△BDE，连CE，

则BD=DE，∠BDE=60°，

由（1）可知△ABD≌△CBE（AAS），

∴AD=CE ，

又∠CDB=30°，∴∠CDE=90°，

∴CD2+DE2=CE2，

∴DB2+DC2=DA2 ；

（3） 以BD为边作等边△BDE，连CE，过E作EH⊥CD交CD的延长线于点H，

由（1）则可知△ABD≌△CBE（AAS），

∴AD=CE=13，

设DH=x，

在Rt△DEH中：DE2—DH2=EH2，

即，

在Rt△CEH中：CE2—CH2=EH2，

，

∴= ，

∴x=5 ， 即DH=5 ，

∴EH=5=DH，则∠EDH=45°，

∴∠CDB=180°—45°—60°=75°.