Question

如图，正方形ABCD的边长为2，E、F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交AD于点M，交BA的延长线于点Q．连接BM，下列结论中：①AE＝BF； ②AE⊥BF；③AQ＝；④∠MBF＝60°．

正确的结论是_____（填正确结论的序号）．

Answer

①②③

【解析】

由题意可证△BFC≌△ABE，可判断①②，由折叠可判断④，根据勾股定理可求AM=，DM=，根据平行线分线段成比例可求AQ=，可判断③

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD=CD=2，∠C=∠D=∠ABC=90°，
∵CF=BE，AB=BC，∠C=∠ABC，
∴△AEB≌△BCF,
∴AE=BF，∠EAB=∠FBC,
∵∠FBC+∠ABF=90°,
∴∠EAB+∠ABF=90°,
∴∠AGB=90°即AE⊥BF,
故①②正确,
∵折叠,
∴BC=BP，∠CBF=∠PBF,
∴AB=BP且BM=BM,
∴Rt△ABM≌Rt△BMP,
∴AM=MP，∠ABM=∠PBM,
∵∠ABM+∠PBM+∠CBF+∠PBF=90°,
∴∠MBF=45°,
故④错误,
∵在Rt△DMF中，MF2=FD2+DM2．
∴（1+AM）2=（2-AM）2+1,
∴AM=，
∴DM=,
∵CD∥BA,
∴,
∴AQ=
故③正确
故答案是：①②③