Question

已知二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列6个结论：

①abc＜0；

②b＜a﹣c；

③4a+2b+c＞0；

④2c＜3b；

⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）

⑥2a+b+c＞0，其中正确的结论的有_____．

Answer

①③④⑥

【解析】

①由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴位置确定b的符号，可对①作判断；

②根据a和c的符号可得：a-c<0，根据b的符号可作判断；

③根据对称性可得：当x=2时，y>0，可作判断；

④根据对称轴为：x=1可得：a=-b，结合x=-1时，y<0，可作判断；

⑤根据顶点坐标的纵坐标为最大值可作判断；

⑥根据2a+b=0和c>0可作判断．

【解析】
①∵该抛物线开口方向向下，∴a<0.

∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴b>0；

∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，

∴abc<0；

故①正确；

②∵a<0，c>0，∴a−c<0，

∵b>0，∴b>a−c，

故②错误；

③根据抛物线的对称性知，当x=2时，y>0，即4a+2b+c>0；故③正确；

④∵对称轴方程x=−=1，∴b=−2a，∴a=−b，

∵当x=−1时，y=a−b+c<0，∴−b+c<0，

∴2c<3b，

故④正确；

⑤∵x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，

x=1对应的函数值为y=a+b+c，

又x=1时函数取得最大值，

∴当m≠1时,a+b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm=m(am+b)，

故⑤错误；

⑥∵b=−2a，∴2a+b=0，

∵c>0，

∴2a+b+c>0，

故⑥正确.

综上所述，其中正确的结论的有：①③④⑥.

故答案为：①③④⑥.