Question

如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，且对角线AC平分∠BCD，∠ACD＝30°，BD＝6．

（1）求证：△BCD是等边三角形；（2）求AC的长（结果保留根号）．

Answer

（1）见解析；（2）AC的长为6．

【解析】

（1）先证四边形ABCD是菱形，得BC=CD，即已知两边相等，再寻找一个角为60°，即可证明△BCD是等边三角形；

（2）先由三角函数求OC的长，即可得出AC的长．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAC=∠BCA，∠BAC=∠DCA．

∵AC平分∠BCD，∴∠ACD=∠ACB，∴∠ACD=∠CAD，∴AD=CD，∴四边形ABCD是菱形，∴BC=CD．

∵∠ACD=30°，∴∠BCD=60°，∴△BCD是等边三角形．

（2）∵O为菱形对角线的交点，∴AC=2OC，ODBD=3，∠COD=90°．

在Rt△COD中，tan∠OCD=tan30°，∴OC，∴AC=2OC=6．

答：AC的长为6．