Question

如图，直线与抛物线分别交于点A、点B，且点A在y轴上，拋物线的顶点C的坐标为．

求抛物线的解析式；

点P是线段AB上一动点，射线轴并与直线BC和抛物线分别交于点M、N，过点P作轴于点E，当PE与PM的乘积最大时，在y轴上找一点Q，使的值最大，求的最大值和此时Q的坐标；

在抛物线上找一点D，使为直角三角形，求D点的坐标．

Answer

（1）；（2） ，Q点坐标为；（3） 点坐标为

【解析】

（1）直线与抛物线分别交于点A、点B，求出点A的坐标，根据抛物线的顶点C的坐标为．设出抛物线的解析式，把点A的坐标代入即可求出抛物线的解析式.

(2) 联立，求出点B的坐标，用待定系数法求出BC的解析式为，设，则，进而表示出，根据二次函数的性质即可求出它的最大值，此时，即可求出的最大值以及此时Q的坐标.

(3)根据△ABD为直角三角形，分成三种情况进行讨论即可.

(1) 由题意得：

,

设抛物线解析式为

将点代入得：

解得：,

,

.

(2) 联立解得：或

即点的坐标为

设的解析式为，代入和得：

解得：

∴BC的解析式为

设，则

，

∴，即

∵C、P在y轴同侧

∴Q在PC延长线上时，最大，

此时，Q为直线PC与y轴的交点，

由和得直线PC的解析式为：

∴Q点坐标为

(3) 点坐标为