Question

已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点，BD是对角线，AG∥BD交CB的延长线于点G．若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？证明你的结论．

Answer

四边形AGBD是矩形

【解析】

先证明四边形AGBD是平行四边形，再由菱形的性质得出AE=BE=DE，通过角之间的关系求出∠2+∠3=90°即∠ADB=90°，即可判定四边形AGBD是矩形．

当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．

∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形．

∵四边形BEDF是菱形，∴DE=BE．

∵AE=BE，∴AE=BE=DE，∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°．

即∠ADB=90°，∴平行四边形AGBD是矩形．