Question

如图,△ABC中,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC,若∠EBC=32°,∠AEB=70°.

(1)求证：∠BAD:∠CAD=1:2；(2)若点F为线段BC上的任意一点，当△EFC为直角三角形时，求∠BEF的度数.

Answer

（1）证明略；(2)∠BEF=58°或20°.

【解析】

（1）由角平分线得出∠ABC，得出∠BAD=26°，再求出∠C，得出∠CAD=52°，即可得出结论；
（2）分两种情况：①当∠EFC=90°时；②当∠FEC=90°时；由角的互余关系和三角形的外角性质即可求出∠BEF的度数．

(1)证明：∵BE平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠EBC=64°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∴∠BAD=90°−64°=26°，

∵∠C=∠AEB−∠EBC=70°−32°=38°,

∴∠CAD=90°−38°=52°，

∴∠BAD:∠CAD=1:2；

(2)分两种情况：

①当∠EFC=90°时，如图1所示：

则∠BFE=90°，

∴∠BEF=90°−∠EBC=90°−32°=58°；

②当∠FEC=90°时,如图2所示：

则∠EFC=90°−38°=52°，

∴∠BEF=∠EFC−∠EBC=52°−32°=20°；

综上所述：∠BEF的度数为58°或20°.