Question

如图，在等边中，点分别在边上，，线段交于点

求证：

连接，当时，求证：.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）证明△ABE≅△CAD即可；

（2）过点C作CH⊥AE，垂足为H，通过证明△BFC≅△CHA，得到CF=AH，再证明∠FCH=30°，由30°角所对直角边等于斜边的一半，得到CF=2FH，进而可以得到AF=FH，即可得到结论．

（1）∵△ABC等边三角形ABC中，∴∠B=∠BCA=∠CAB=60°，AB=CA=BC．

在△ABE和△CAD中，∵BE=AD，∠B=∠CAB，AB=CA，∴△ABE≅△CAD，∴AE=CD；

（2）过点C作CH⊥AE，垂足为H，∴∠CHA=90°，∴∠BFC=90°，∠BFC=∠CHA．

∵△ABE≅△CAD，∴∠BAE=∠ACD．

∵∠CAB-∠BAE=∠BCA-∠ACD，即∠CAE=∠BCD．

在△BFC和△CHA中，∵∠BFC=∠CHA，∠BCD=∠CAE，BC=CA，∴△BFC≅△CHA，∴CF=AH．

∵∠CFE=∠CAE+∠ACD =∠CAE+∠BAE=∠CAB=60°．

∴∠FCH=180°-∠CHA-∠CFE =180°-90°-60°=30°，∴CF=2FH，∴AH=2FH，即AF+FH=2FH，∴AF=FH，∴CF=2AF．