Question

如图，抛物线经过，两点．

求抛物线的函数表达式；

求抛物线的顶点坐标，直接写出当时，x的取值范围；

设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

根据待定系数法，可得抛物线的解析式；

根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可得答案；

根据余角的性质，可得，根据相似三角形的判定与性质，可得，根据解方程组，可得H点坐标．

将，两点代入抛物线中，可得：，

解得：，

所以抛物线的解析式为：；

抛物线的解析式为：．

所以抛物线的顶点坐标为，

当时，x的取值范围为：；

存在点H满足，

由知M点的坐标为

如图：作交x轴于点，作轴于点N，

，，

．

，

∽，

，

，

，

解得，

点坐标为

直线MK的解析式为，

，

把代入，化简得．

，

，，将代入，

解得，

直线MK与抛物线有两个交点M、H，

抛物线上存在点H，满足，

此时点H的坐标为