Question

在平面直角坐标系中，点A(a，0)，B(0，b)，且a，b满足a²－2ab＋b²＋(b－4)²＝0，点C为线段AB上一点，连接OC．

(1)直接写出a＝____，b＝_____；

(2)如图1，P为OC上一点，连接PA，PB．若PA＝B0，∠BPC＝30°．求点P的纵坐标；

(3)如图2，在(2)的条件下，点M是AB上一动点，以OM为边在OM的右侧作等边△OMN，连接CN．若OC＝t，求ON＋CN的最小值(结果用含t的式子表示)．

Answer

(1)a＝4，b＝4；(2)点P的纵坐标的为2;(3)ON＋CN的最小值为2t．

【解析】

（1）根据完全平方的非负性即可求解，

（2）分别过A，B作OC的垂线，垂足分别为D，E，由PA＝BO＝AO，易证△BDO≌△OEA，得BD＝EO＝PE，由∠BPC＝30°，知PB＝2BD＝2EO，得PB＝PO，过P作PF⊥OB，可求得OF＝OB＝2，即点P的纵坐标的为2．

(3)如图，以OA为边在x轴下方作等边△OAG，连接OG，AG，易证△OMA≌△ONG，

于是∠OGN＝∠OAM＝45°，即点N在y轴与OG夹角为45°的直线GN上运动，作点C关于GN的对称点H，连接OH，则ON＋CN的最小值即为OH的长再求出OH即可.

(1) ∵a2－2ab＋b2＋(b－4)2＝(a-b)2＋(b－4)2=0,

∴a＝b＝4；

(2)分别过A，B作OC的垂线，垂足分别为D，E，

由PA＝BO＝AO，易证△BDO≌△OEA，

∴BD＝EO＝PE，

∵∠BPC＝30°，

∴PB＝2BD＝2EO，

∴PB＝PO，过P作PF⊥OB，

∴OF＝OB＝2，即点P的纵坐标的为2．

(3)如图，以OA为边在x轴下方作等边△OAG，连接OG，AG，易证△OMA≌△ONG，

∴∠OGN＝∠OAM＝45°，

即点N在y轴与OG夹角为45°的直线GN上运动，作点C关于GN的对称点H，连接OH，则ON＋CN的最小值即为OH的长．

由(2)PB＝PO，∠BPC＝30°，

∴∠ACO＝60°，

在四边形ACOG中，∠COG＝360°－60°－60°－45°－60°＝135°，

∴OC∥NG，易证∠OCH＝90°

，∴∠H＝∠ACH＝30°，

∴OH＝20C＝2t．即ON＋CN的最小值为2t．